Simplification algébrique d'équations

1. Simplification algébrique

On considère qu'une équation booléenne est simplifiée si le nombre d'apparition des variables dans l'équation est le plus petit possible.

Q.1 En utilisant les propriétés et théorèmes de l'algèbre de Boole, simplifiez l'expression ci-dessous :

                                 _____ 
                 _   _           _      _
S = (a + b + c).(a + d.e + f) + (d + e).a.c + a.b 

En développant l'équation en termes produits, nous obtenons :

_     _           _       _           _       _           _     _
S = a.a + a.d.e + a.f + a.b + b.d.e + b.f + a.c + c.d.e + c.f + a.c.d.e + a.b

en éliminant a.a (propiété de complémentarité) et comme a.b + a.b = b, il est possible d'éliminer les termes contenant la variable b (théorème d'absoption). Il en résulte :

_           _       _           _     _ 
S = b + a.d.e + a.f + a.c + c.d.e + c.f + a.c.d.e

De même le théorème d'absorption s'applique pour a.c + a.c.d.e , faisant disparaître le 2ème terme

_           _       _       
S = b + a.d.e + a.f + a.c + c.d.e + c.f

En mettant d.e et f en facteur, il résulte :

_                         _
S = b + d.e.(a + c) + f.(a + c) + a.c

Et finalement le terme (a + c) se met en facteur. Une des solutions mettant en oeuvre le moins de varaiables logiques est donc :

_         _
S = b + (a + c).(d.e +f) + a.c 

2. Simplification par tableau de Karnaugh

La méthode de Karnaugh permet de simplifier les fonctions logiques ayant peu de variables, à partir de la table de vérité de la fonction.

Q.2 Simplifiez les 2 fonctions F et G suivantes après avoir transformé leur table de vérité (respectivement Table 2.1 et Table 2.2) en tableau de Karnaugh.

Table 2.1 : fonction F

e	d	c	b	a	F
0	X	X	X	X	0
1	0	0	X	X	0
1	0	1	0	X	1
1	0	1	1	X	0
1	1	0	0	0	0
1	1	0	0	1	1
1	1	0	1	X	1
1	1	1	0	0	1
1	1	1	0	1	0
1	1	1	1	X	0

• Les entrées sont a b c d e
• Une variable d'entrée à "X" indique qu'elle peut être à 0 ou 1.

En remarquant que la variable e sert à valider l'action des autres entrées, F s'exprime alors : F = e.f(a,b,c,d)
Il suffit dans ce cas de simplifier la fonction à 4 entrées f(a,b,c,d) et le report de la table de vérité nous donne la table de Karnaugh de la figure ci-dessous.
En effectuant par la suite la mise en facteur des termes d.c et c.b une expression simplifiée de F est donc :

_  _   _      _   
F = e. [c.b.(d + a) + d.c.(a + b)] 

i	d	c	b	a	G
0	0	0	0	0	1
1	0	0	0	1	1
2	0	0	1	0	-
3	0	0	1	1	0
4	0	1	0	0	-
5	0	1	0	1	-
6	0	1	1	0	-
7	0	1	1	1	1
8	1	0	0	0	-
9	1	0	0	1	1
10	1	0	1	0	1
11	1	0	1	1	0
12	1	1	0	0	0
13	1	1	0	1	1
14	1	1	1	0	0
15	1	1	1	1	1

• Les entrées sont a b c d
• i indique la valeur de la combinaison (ou minterme) en décimal
• Le "-" indique que G peut prendre indifféremment 0 ou 1

Le report de la table de vérité nous donne la table de Karnaugh de la figure ci-dessous :
Il serait possible d'effectuer une simplification supplémentaire si on dispose de la fonction OU exclusif et dans ce cas, G = c.b + (c ⊕ a)
En utilisant la fonction inverse, l'expression est un peu plus simple car il y a moins de combinaisons où la fonction G est fausse (Figure 2.3).

Figure 2.3