Représentation binaire des Nombres Réels

Représentation à "virgule fixe"

A l'instar de la définition des nombres binaires naturels, nous pourrions définir un réel positif par une convention du même type : Exemple : le nombre 1010,101 peut représenter la somme suivante : Soit, en écriture décimale : 8 + 2+ 0,5 + 0,125 = 10,625 Sous une autre forme : On peut rigoureusement démonter que tout nombre réel positif pourrait ainsi écrit de cette manière. Resterait à décrire le signe, ce qui peut être fait par un bit particulier (bit de signe) ou par une convention de type complément à deux. Beaucoup de ces variantes ont été utilisées dans les calculateurs. 1010 est la partie entière du nombre, 101 sa partie fractionnaire.

Exemple du calcul inverse : traduire en binaire le nombre 78,347

Partie entière : 78 Nous opérons une suite de divisions par 2 et retenons les divers restes. Ces restes sont repris à l'envers

Partie fractionnaire : 0,347 En réalité, 2-10 = 0,0009765625 est la valeur de 0,000 000 000 1, le dernier chiffre binaire à droite du nombre ci-dessus. L'erreur dûe au fait de négliger les résultats à droite de ce chiffre est inférieure à 210-11 = 0,00048828125.

Résultat final : 78,347 écrit en décimal représente 1001110,0101100011 écrit en binaire à moins de 2 -11 près

Reste cependant que cette représentation à virgule fixe est souvent dispendieuse en nombre de bits ! Imaginons que l'on veuille écrire tous les réels de 0 à 65 635. Le sous-ensemble d'entiers de cet intervale s'écrit sous 16 bits : 216 = 65 536. Si la précision maximale que nous voulons atteindre est seulement de 1/216-1 = 1/65 535 Nous devrons écrire seize chiffres après la virgule ;exemple 1010 0101 1100 1111,0110 1110 1101 0111 Pour de petits nombres, il y gaspillage de bits à gauche de la virgule : 101,001001100 Pour des nombres à peu de décimales, il y aura gaspillage de bits après la virgule : 1100 1111,01 Néanmoins ce système a été réellement employé dans certains types de calculateurs.

Représentation "à virgule flottante"

Rappelons ce qu'est la notation scientifique des nombres réels : En "notation scientifique" dite "à virgule flottante" - 0,006234 s'écrit - 6.234 e- 3 ou - 6.234 E- 3 Cette notation est l'équivalent de : - 6,234 . 10- 3 Observons bien la manière dont on construit ce format à partir d'une expression quelconque d'un nombre. Prenons deux exemples de nombres écrits en base décimale : - 0,007123456789 et +54321,123456 On retient le signe du nombre. Et on ne s'interesse d'abord qu'à la valeur absolue. On met le nombre sous forme de deux facteurs. Un nombre de l'intervalle [1,9] 7,123456789  pour le premier 5,4321123456 pour le second Une puissance de 10 ramenant le produit à sa valeur initiale. 7,123456789  ×10-3  pour le premier. 5,4321123456 ×10+4   pour le second. On rétablit le signe. -7,123456789  ×10-3 pour le premier +5,4321123456 ×10+4 pour le second. On remplace, 10 par E (ou e) suivis de la caractéristique. -7,123456789 E-3 pour le premier +5,4321123456 E+4 pour le second. Le nombre intermédiaire de l'intervalle [1,9]s'appelle la mantisse .L'exposant de la puissance de 10 est appelé la caractéristique. Ce dernier mot tombe actuellement en déssuétude. Exemple en binaire. Nb = -1010 1101,1011 0110 Mantisse de |Nb| = 1,010 1101 1011 0110 Caractéristique : + 7 Nb = - 1,010 1101 1011 0110 × 2+7 Notons que la mantisse comporte une partie entière et une partie fractionnaire. Exemple : -7,123456789 E-3 7 est la partie entière de la mantisse, 123456789 est sa partie fractionnaire. Nombre zéro en virgule flottante. Rien n'interdit de représenter le nombre zéro par un flottant dont la parties entière et fractionnaire sont nulles ainsi que la caractéristique. n = 0 x 100 = 0 x 1 = 0Mais cette forme du zéro pose des problèmes dans les standards de représentation binaire des nombres dans les mémoires des machines informatiques. Notamment dans les formats 32 et 64 bits du standard IEEE. Nous allons maintenant voir comment on implémente ce format de notation dans un ordinateur. Quelques exemples de formats binaires à virgule flottante à 32, 64 et 80 bits Respectivement 4, 8 et 10 octets Utilisé pour le type "float" (simple précision) Utilisé pour le type "double" (double précision) Les formats à 32 et 64 bits ignorent la partie entière de la mantisse. Le format à 80 bits mémorise la mantisse avec sa partie entière Schéma de représentation des nombres en virgule flottante et en représentation binaire Détails d'implémentation des nombres en virgule flottante au niveau de leur représentation binaire.Normes IEEE Partie fractionnaire La partie fractionnaire du nombre obtenu après avoir déplacé la virgule du nombre initial, de manière à ne laisser subsister qu'un seul chiffre à gauche, différent de zéro. Pour un nombre écrit en binaire, ce chiffre est invariablement "1" Exemple : Si le nombre écrit en binaire est : 0000 1010,0110 Après déplacement de la virgule de 3 rangs à gauche : 1,0100110 La partie fractionnaire est : 0100110 Le "1" à gauche du zéro est omis de la représentation IEEE. Il est "implicite" car en binaire ce chiffre est toujours le même : "1" pour tous les nombres. Sauf, me direz-vous le zéro, cas particulier sur lequel nous reviendrons plus loin. Exposant Attention ! la valeur de l'exposant dans l'écriture du nombre en virgule flottante et celle de l'exposant dans le format IEEE, ne sont pas les mêmes ! L'exposant permet de déterminer de combien de rangs il faut déplacer la virgule se trouvant à gauche de la partie fractionnaire et dans quel sens (droite ou gauche) après rétablissement du "1" implicite, pour obtenir le nombre à représenter. Pour mesurer ce déplacement, tantôt positif tantôt négatif, on aurait pu penser à écrire l'exposant  dans la "convention du complément à 2"  Ce n'est pas le cas. Les structures internes des machines numériques s'accomodent mieux de la convention suivante. Soit D le nombre entier algébrique mesurant le déplacement de la virgule Soite E la valeur de l'exposant, par définition on pose :  E = D + B   E = valeur de l'exposant considéré comme entier positif   D = déplacement algébrique de la virgule  B = une constante appelée décalage (Bias en anglais) ou D = E - B B (le décalage ou bias) est une constante de valeur : Décalage (ou Bias) B = 2n-1 - 1 Calcul de B   Pour éclairer cette définition. nous vous proposons deux exemples. Traduisons en binaire format flottant simple précision 32 bits ( float )le nombre : - 1039,0 (écrit ici en décimal) Occupons-nous d''abord de sa valeur absolue 1039,0. Pour traduire ce nombre (il est entier dans ce premier exemple) en binaire nous passons par son écriture hexadécimale : 1039 décimal = 40F héxadécimal = 0000 0100 0000 1111binaire Nous constituons la partie fractionnaire : 1, partie fractionnaire 0000 0100 0000 1111 = 1,00 0000 1111 . 210 ( 210 décale la virgule de dix chiffres vers la droite ) Nous étendons la partie fractionnaire à 23 bits 1,00 0000 1111 =1,00 0000 1111 0000 0000 0000 0 Rangé autrement :1,000 0001 1110 0000 0000 0000 Partie fractionnaire sur 23 bits = 000 0001 1110 0000 0000 0000(on ne mémorise pas le 1 implicite d'avant la virgule) Nous constituons le décalage IEEE en simple précision 8 bits : 28 - 1 - 1 = 127 Nous constituons l'exposant : exposant = 10 + décalage = 137 137 décimal = 1000 1001 binaire Voici le résultat : bit de signe - exposant - partie fractionnaire Bits 31 30 29 28 27 26 25 24 23 22 21 20 19 18 17 16 15 14 13 12 11 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1 0   1 1 0 0 0 1 0 0 1 0 0 0 0 0 0 1 1 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 En héxadécimal C4 81 E0 00 Le bit de signe (bit b31) positionné à 1 indique un nombre réel négatif ! L'opposé de -1039,0, soit 1039,0, s'obtient en mettant le bit de signe b31 à 0 + 1039,0 se code 44 81 E0 00 en héxadécimal Second exemple Traduisons en binaire format flottant simple précision 32 bits ( float )le nombre : x = - 6,625 (écrit ici en décimal) Occupons-nous d''abord de sa valeur absolue 6,625 Traduisons ce nombre en binaire : 6,625 décimal = 110,1010 binaire c.f. " Virgule fixe" : Nous mettons ce nombre sous la forme : 1, partie fractionnaire 110,1010 = 1,101010 . 22 ( 22 décale la virgule de 2 chiffres vers la droite) Nous étendons la partie fractionnaire à 23 bits 1,101010 = 1,1010 1000 0000 0000 0000 000 partie fractionnaire sur 23 bits = 101 0100 0000 0000 0000 0000 (on ne mémorise pas le 1 implicite d'avant la virgule) Nous rappelons le décalage IEEE en simple précision 8 bits : 28 - 1 - 1 = 127 Nous constituons l'exposant : exposant = 2+ décalage = 129 129 décimal = 1000 0001 binaire Voici le résultat : bit de signe - exposant - partie fractionnaire Bits 31 30 29 28 27 26 25 24 23 22 21 20 19 18 17 16 15 14 13 12 11 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1 0   1 1 0 0 0 0 0 0 1 1 0 1 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 En héxadécimal C0 D4 00 00 Le bit de signe (bit b31) positionné à 1 indique un nombre réel négatif ! L'opposé de - 6,625, soit + 6,625, s'obtient en mettant le bit de signe b31 à 0 + 6,625 se code 40 D4 00 00 en héxadécimal Correspondance Exposant - Décalage - Déplacement E = valeur de l'exposant dans l'implémentation IEEE D = déplacement de la virgule pour rétablir le nombre. B = 2n-1-1 = Décalage (bias) En rouge les diverses valeurs numériques décimales pour n = 8 bits valeur pour laquelle le décalage (bias) est B = 28-1-1=127 .  Seules quelques valeurs sont affichées. E 0 1 ... B B+1 ... 2n-2 2n-1 E 0 1 ... 127 128 ... 254 255 D - B -B+1  ... 0 1 ... 2n-1-1 2n-1 D -127 -126 ... 0 1 ... 127 128 2D 2-B 2-(B-1) ... 0 2 ... 2 ^ (2n-1-1) 2 ^ (2n-1)   128 valeurs D <= 0 128 valeurs D > 0 Comme nous allons le voir, les colonnes extrêmes grisées de ce taleau correspondent à des nombres d'exception. Exceptions Représentation du zéro. La règle de formation de la partie fractionnaire dans le format IEEE impose que l'on déplace la virgule à droite du bit à "1" le plus signifiant (de plus grand poids) dans le nombre binaire initial. Exemple : 0,001 0000 1110 sera transformé en:1, 0000 1110 x 2-3 Cette méthode est inopérante pour un nombre nul. C'est la raison pour laquelle on est convenu d'attribuer aux positions extrêmes du tableau précédent des interprétations particulières. Le zéro sera représenté par un exposant E nul et une partie fractionnaire F nulle. E = 0 ; F = 0 L'ennui est que si on en reste là, ces valeurs représentent déjà un autre nombre. En effet, suivant notre règle de formation du format IEEE, on rétablit le "1" implicite et le tableau précédent vous indique un déplacement de - B. Ce n'est autre que : 1,000...x 2-B D'où la règle : ( F étant la partie fractionnaire) E = 0 F = 0  représente les deux zéros ± 0 (n'oubliez pas le bit de signe) F # 0  sont déclarés nombres hors norme, dénormalisés C'est la raison pour laquelle nous avons grisé la colonne la plus à gauche du précédent tableau. Autres réattributions Il est indispensable que le format d'enregistrement d'un nombre puisse mémoriser une impossibilité de calcul ou un résultat infini survenus lors de son calcul.. On se sert pour cela des nombres correspondant à la colonne la plus à droite du tableau précédent.C'est-à-dire pour : E = 2n-1 E = 2n-1 (Max de E)  F = 0  Nombres infinis (±) Nommés INFINITY en informatique. F # 0  Non-Nombres, notés NaN (Not a Number, voir ci-dessous) Remarquez que les NaN et les INFINITY n'ont que des "1" dans leur exposant. N'oublions pas que ces représentations binaires sont directement traitées par des ordinateurs qui n'éprouvent aucune difficulté à déceler et traiter ces exceptions. Le format NaN est souvent utilsé pour les programmes pour enregistrer une mauvaise saisie d'un nombre comme par exemple : 12,45U. Le format INFINITY est souvent utilisé pour enregistrer le résultat d'une opération telle qu'une division par zéro. Les nombres ne faisant pas exception (normalisés IEEE) 1 < E < 2n -2  Partie fractionnaire F quelconque. Tableau des nombres normalisés IEEE (le précédent sans les colonnes extrêmes)Seules quelques valeurs sont affichées. E 1 2 ... B B+1 ... 2n-3 2n-2 E 1 2 ... 127 128 ... 253 254 D -B+1 -B+2 ... 0 1 ... 2n-1-2 2n-1-1 D -126 -125 ... 0 1 ... +126 +127 2D 2-(B-1) 2-(B-2) ... 0 2 ... 2 ^(2n-1-2) 2 ^(2n-1-1) Les nombres normalisés les plus proches de zéroEn valeur absolue : Obtenus pour E = 1  D = 2 -2n-1 et F = 0nombres = ± 1,0 x 2D Les nombres normalisés ayant la plus grande valeur absolueObtenus pour E = 254  D = 2n-1-1 et F = 1111....1111nombres = ± 1,1111...1111 x 2D Les nombres dénormalisés Comme lindique un tableau précédent, ils correspondent à  E = 0   et   F # 0 On doit interpréter ces nombres comme ayant une partie entière égale à zéro et une partie fractionnaire F non nulle. Même le déplacement D est réattribué. On ne prendra pas la valeur D = - B = - ( 2n-1-1 )comme on aurait pu l'induire de l'observation du tableau, mais la valeur D = -B+1 = -2n-1 +2 par mesure de continuité avec les nombres normalisés.: ± 0,F × 2-D  avec F#0 et D = -2n-1+2 = 2-2n-1  Exemple du format IEEE 32 bits L'exposant a n = 8 bits, et D = -126 --- Valeur absolue maxima d'un nombre dénormalisé : Val. abs. max. = 0,1× 2 -126 = 2 -127 = 5,8774717541114375398436826861112e-39 --- Valeur absolue minima d'un nombre dénormalisé : Val. abs. min. = 0,000...001 × 2 -126 La partie fractionnaire ayant 23 bits dans ce format, 0,000...001 = 2 -23 Val. abs. min. = 2 -23 × 2 -126 = 2 -149 = 1,4012984643248170709237295832899e-45 J'arrête là pour aujourd'hui