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jeudi 29 septembre 2011

Simplification algébrique d'équations


1. Simplification algébrique

On considère qu'une équation booléenne est simplifiée si le nombre d'apparition des variables dans l'équation est le plus petit possible.
Q.1 En utilisant les propriétés et théorèmes de l'algèbre de Boole, simplifiez l'expression ci-dessous :
                                 _____ 
                 _   _           _      _
S = (a + b + c).(a + d.e + f) + (d + e).a.c + a.b 
En développant l'équation en termes produits, nous obtenons :
_     _           _       _           _       _           _     _
S = a.a + a.d.e + a.f + a.b + b.d.e + b.f + a.c + c.d.e + c.f + a.c.d.e + a.b
en éliminant a.a (propiété de complémentarité) et comme a.b + a.b = b, il est possible d'éliminer les termes contenant la variable b (théorème d'absoption). Il en résulte :
_           _       _           _     _ 
S = b + a.d.e + a.f + a.c + c.d.e + c.f + a.c.d.e
De même le théorème d'absorption s'applique pour a.c + a.c.d.e , faisant disparaître le 2ème terme
_           _       _       
S = b + a.d.e + a.f + a.c + c.d.e + c.f
En mettant d.e et f en facteur, il résulte :
_                         _
S = b + d.e.(a + c) + f.(a + c) + a.c
Et finalement le terme (a + c) se met en facteur. Une des solutions mettant en oeuvre le moins de varaiables logiques est donc :
_         _
S = b + (a + c).(d.e +f) + a.c 

2. Simplification par tableau de Karnaugh

La méthode de Karnaugh permet de simplifier les fonctions logiques ayant peu de variables, à partir de la table de vérité de la fonction.
Q.2 Simplifiez les 2 fonctions F et G suivantes après avoir transformé leur table de vérité (respectivement Table 2.1 et Table 2.2) en tableau de Karnaugh.
Table 2.1 : fonction F
edcbaF
0XXXX0
100XX0
1010X1
1011X0
110000
110011
1101X1
111001
111010
1111X0
  • Les entrées sont a b c d e
  • Une variable d'entrée à "X" indique qu'elle peut être à 0 ou 1.
En remarquant que la variable e sert à valider l'action des autres entrées, F s'exprime alors : F = e.f(a,b,c,d)
Il suffit dans ce cas de simplifier la fonction à 4 entrées f(a,b,c,d) et le report de la table de vérité nous donne la table de Karnaugh de la figure ci-dessous.

karnaugh1
En effectuant par la suite la mise en facteur des termes d.c et c.b une expression simplifiée de F est donc :
_  _   _      _   
F = e. [c.b.(d + a) + d.c.(a + b)] 
idcbaG
000001
100011
20010-
300110
40100-
50101-
60110-
701111
81000-
910011
1010101
1110110
1211000
1311011
1411100
1511111
  • Les entrées sont a b c d
  • i indique la valeur de la combinaison (ou minterme) en décimal
  • Le "-" indique que G peut prendre indifféremment 0 ou 1
Le report de la table de vérité nous donne la table de Karnaugh de la figure ci-dessous :

karnaugh2
Il serait possible d'effectuer une simplification supplémentaire si on dispose de la fonction OU exclusif et dans ce cas, G = c.b + (c ⊕ a)
En utilisant la fonction inverse, l'expression est un peu plus simple car il y a moins de combinaisons où la fonction G est fausse (Figure 2.3).
Figure 2.3
karnaugh3

 

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